Jak pomocí pravděpodobnosti dělat dobrá rozhodnutí?

Zákon velkých čísel

Posledním z konceptů, které mají velký vliv při aplikaci teorie pravděpodobnosti do praxe, je zákon velkých čísel.

Ten nám říká, že s narůstajícím počtem pokusů se poměr výsledků k celkovému počtu pokusů přibližuje k očekávanému výsledku vyjádřenému pravděpodobností. Jednoduše – čím více pokusů uděláte, ať už v ruletě nebo při hodu kostkou, tím více se budou průměrné výsledky hodů přibližovat pravděpodobnosti očekávaných výsledků.

V obrázku vidíme, jak se při 100 náhodných simulacích během 100 sázek nebo her v ruletě průběžný dosažený výsledek přibližuje k očekávanému výsledku -5,26 %. Čím déle hrajeme, tím více se pokusy přibližujeme k teoretické hodnotě.

V případě 100 her je však vidět, že stále dostatečný počet výsledků je nad hodnotou nula a není vizuálně jednoznačné, že taková hra má negativní matematické očekávání.

Pokud však pokračujeme v hraní rulety dál, tak přibývající průměrné výsledky se dále shlukují pod nulovou hodnotou a stává se zřetelnější, že střední hodnota očekávaného výsledku bude negativní. Tato skutečnost se dá pozorovat na dalším obrázku při 1000 uskutečněných ruletových hrách ve 100 náhodných simulacích.

S pokračujícím nárůstem her se stále větší počet průměrných výsledků vyskytuje kolem hodnoty -0,0526. Střední hodnota výsledků se při 10 000 hrách ustaluje kolem této hodnoty, jak naznačuje další graf, a potvrzuje tím negativní matematické očekávání.

Nyní můžeme tři koncepty spojit dohromady a použít je při analýze konkrétního příkladu.

Prostřednictvím pravděpodobnosti dokážeme matematicky zanalyzovat náhodné jevy při různých hrách nebo sázkách. Matematické očekávání přináší možnost výpočtu celkového očekávaného výsledku opakujících se her nebo sázek. Zákon velkých čísel nám zároveň zajišťuje, že konečný výsledek série sázek se bude přibližovat k očekávanému výsledku.

Praktický příklad

Negativní matematické očekávání nemusí nutně znamenat, že v dané hře budeme hned od začátku neúspěšní. Vzhledem k výše uvedeným faktům je spíše důležitý časový rámec, jak dlouho hrajeme.

I při hře se záporným matematickým očekáváním dokážeme v krátkodobém horizontu dosáhnout kladného výsledku – máme-li štěstí!

Zkusme se podívat, jaké jsou možné scénáře vývoje hry při ruletě při 100 sázkách v 1 000 simulacích. Zelené čáry zobrazují cestu ke konečnému výsledku, který byl kladný. Oranžové čáry zobrazují cestu k zápornému výsledku po 100 sázkách.

Intuitivně se zdá, že při nepříliš velkém počtu opakujících se her jsou naše šance na úspěch přibližně 50:50. Stále vidíme dostatečný počet zelených čar ve srovnání s oranžovými.

Vidíme, že plno her skončilo skutečně s pozoruhodně kladným výsledkem, přičemž nejvyšší výhra je 26 (při výhře zaknihujeme +1, při prohře -1). Nejvyšší prohra je někde na úrovni -40.

Máme-li štěstí při hře se záporným matematickým očekáváním, tak dokážeme v krátkodobém časovém horizontu dosáhnout i kladného výsledku. Je to ale tak i z pohledu dlouhodobé hry?

Zkusme si to ověřit při pokračování sázení na jednu barvu při ruletě a podívejme se na výsledky, kterých bychom dosáhli po 1 000 hrách v 1 000 simulacích.

Při 1 000 hrách se vidina úspěšného konce v kasinu začíná rozplývat. 1 000 simulací vývoje nám naznačuje, že navzdory několika kladným výsledkům je velká většina simulací ztrátová.

Nejlepší výsledek byl stále pozoruhodných 52, avšak největší ztráta dosáhla až -160. Po 1 000 simulacích je již víceméně jasné, kam míří celkový výsledek experimentu. Při dalším pokračování hry se pravděpodobně dostaneme do mnohem víc negativního teritoria.

Podívejme se ještě, jestli je tomu skutečně tak, budeme-li pokračovat ve hře i nadále a zůstaneme u stolu po dobu 10 000 her.

Při tisíci simulací 10 000 sázek při americké ruletě vidíme, že není žádná šance, abychom po takovém dlouhém sázení odešli od stolu s pozitivním výsledkem.

Očekávaný výsledek je v rozmezí -150 až -870. Čím více budeme pokračovat, tím hůře dopadneme. Řešením tedy není zůstat u stolu co nejdéle a věřit v obrat. Záporné matematické očekávání v kombinaci se zákonem velkých čísel hraje nekompromisně v náš neprospěch a delší hra bude pouze prohlubovat výsledkovou agonii.

Jaká je tedy nejlepší strategie při americké ruletě?

Nejlepší je ji nehrát vůbec. Pokud už přece jen hrajete a náhodou jste v plusu, tak je třeba se zvednout a nechat si proplatit žetony. Čím déle budete ruletu hrát, tím větší je šance, že se vaše štěstí obrátí a vy odejdete domů se ztrátou.

Zpět k příkladu z úvodu

Vraťme se nyní k příkladu ze začátku článku.

Při první otázce si většina vybere jistotu a chce 500 Kč bez ohledu na výsledek hodu mincí. Podívejme se však na matematické očekávání jednotlivých možností:

1. a) E = (0,5)(1250) + (0,5)(0) = 625 Kč 

1. b) E = (1)(500) + (0)(0) = 500 Kč

První řešení má větší matematické očekávání než druhé. Z krátkodobého hlediska se zdá být lepším řešením brát jistotu 500 Kč. Z dlouhodobého hlediska, pokud se rozhodujete takovýmto způsobem, tak zcela jistě přicházíte o finanční prostředky.

Provedli jsme 1 000 simulací, kde jsme porovnali možné výsledky. Zelené čáry představují simulaci průběhu výsledků, pokud si pokaždé vybereme možnost a), modrá čára ukazuje vývoj, pokud si pokaždé vybereme možnost b). U možnosti b) čára lineárně roste vždy o 500 Kč.

Již po 250 opakováních možnosti a) vidíme, že všechny možné scénáře vývoje jsou nad modrou čárou výsledku b). Výhodnost volby a) je však viditelná během celého průběhu pokusu. S narůstajícím počtem pokusů by se výhodnost řešení a) pouze zvětšovala – vzdálenost zeleného spektra výsledků od modré čáry by byla stále větší.

Zákon velkých čísel vám při mnoha opakováních zajistí mnohem větší benefit, pokud budete brát v úvahu matematická očekávání jednotlivých událostí. Při opakování takových nebo podobných rozhodnutí je lepší nejprve důkladně zhodnotit pravděpodobnosti a ekonomický přínos jednotlivých řešení v dlouhodobém horizontu.

Podívejme se na výsledky při druhé otázce:

2. a) E = (0,5)(-1250) + (0,5)(0) = -625 Kč

2. b) E = (1)(-500) + (0)(0) = - 500 Kč

Je to zrcadlově otočený příklad jako při první otázce, nicméně většina lidí se v tomto případě rozhodne pro první možnost. Lidé jsou citliví na okamžité ztráty a raději podstoupí riziko, vidí-li možnost se jim nějakým způsobem vyhnout.

Ekonomičtější by však v tomto případě bylo zvolit možnost b), protože matematické očekávání výsledku v peněžním vyjádření je v tomto případě příznivější. Po 250 pokusech je modrá čára nad celým oranžovým spektrem výsledků z možnosti a).

Dalším zajímavým výsledkem z obou příkladů je fakt, že pokud jde o zisky, tak jsme spíše náchylní je vybírat co nejdříve bez ohledu na alternativy.

Pokud však někde vidíme téměř jistou ztrátu, tak jsme ochotni riskovat a hrát dál s vidinou její eliminace, i když podmínky tomu nejsou příliš nakloněny.

Při investování je pravděpodobnost na vaší straně

Stejně jako v předchozích příkladech sázení fungují zákony pravděpodobnosti i v investování a jsou základním předpokladem úspěchu.

V krátké době může standardní odchylka způsobit, že investování do indexových fondů ETF je méně předpovídatelné. Pokud však tuto investici držíme dlouhodobě, zákon velkých čísel a přibližování k dlouhodobým průměrným výsledkům bude působit čím dál tím výrazněji ke kladnému zhodnocení.

Čas většinou hraje proti nám a stěžujeme si na jeho nedostatek. Při investování to však neplatí. Čím více času poskytneme pasivnímu investování, tím lepší výsledek můžeme očekávat.

Při investování se držte vědy a ověřených teorií, nepodléhejte při investování emocím. Investování je běh na dlouhou trať. Krátkodobé výkyvy nejsou podstatné. Pravděpodobnost je na straně pasivních investorů a není důvod mít jiná očekávání.